ทฤษฏีทางคณิตศาสตร์

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สมการควอดราติก) คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ

$ax^2 + bx + c = 0 \!$

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง a, b อาจเรียกว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของ x², x ตามลำดับ ส่วน c คือสัมประสิทธิ์คงตัว บางครั้งเรียกว่าพจน์อิสระหรือพจน์คงตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งพาราโบลา

สูตรกำลังสอง

สมการกำลังสองใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีรากของสมการ 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่

$x_+ = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}; \quad x_- = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ

ดิสคริมิแนนต์

จากสูตรด้านบน นิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง

$\Delta$

จะเรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของสมการกำลังสอง

ดิสคริมิแนนต์เป็นตัวบ่งบอกว่าสมการกำลังสองจะมีคำตอบของสมการเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้

ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่แตกต่างกัน และเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ สำหรับกรณีที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และดิสคริมิแนนต์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นรากของสมการจะเป็นจำนวนตรรกยะ ส่วนในกรณีอื่นจะเป็นจำนวนอตรรกยะ
ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่เท่ากัน (หรือมีเพียงค่าเดียว) และเป็นจำนวนจริง รากของสมการนี้จะมีค่าเท่ากับ
$x = -\frac{b}{2a} \!$
ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนที่ต่างกัน ซึ่งเป็นสังยุคของกันและกัน นั่นคือ
$x$

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย i² = −1

การแยกตัวประกอบ

พจน์ $x - r \!$ จะเรียกว่าเป็นตัวประกอบของพหุนาม $ax^2 + bx + c \!$ ก็ต่อเมื่อ r เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง $ax^2 + bx + c = 0 \!$

ซึ่งจากสูตรกำลังสอง สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามได้เป็น

$ax^2 + bx + c = a \left( x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right)$

ในกรณีพิเศษ เมื่อรากของสมการกำลังสองมีเพียงค่าเดียว (คือคำตอบทั้งสองเท่ากัน) พหุนามกำลังสองจะสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น

$ax^2+bx+c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 \!$

การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง

พหุนามกำลังสองใดๆ บนจำนวนเชิงซ้อน (คือพหุนามที่อยู่ในรูป $ax^2+bx+c$ เมื่อ $a,b,c \in \mathbb{C}$ ) สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นนิพจน์ที่อยู่ในรูป $a (x - \alpha) (x - \beta) \!$ เมื่อ $\alpha$ และ $\beta$ คือรากของพหุนาม ซึ่งคำนวณได้จากสูตรกำลังสองดังนี้

$ax^2 + bx + c = a (x - \alpha) (x - \beta) = a\left (x - \left (\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \right) \left (x - \left (\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \right)$

[แก้]พหุนามที่สามารถแยกได้บนจำนวนเต็ม

บางครั้งพหุนามกำลังสองสามารถแยกออกได้เป็นทวินาม (binomial) สองตัวด้วยสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเต็ม โดยไม่จำเป็นต้องใช้สูตรกำลังสองในการคำนวณ ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการหารากของสมการกำลังสองโดยที่พหุนาม

$ax^2+bx+c\!$

สามารถแยกได้เป็น

$(mx+p) (nx+q) \!$

เมื่อ

$mn = a\!$

$pq = c\!$

$pn + mq = b\!$

จากนั้นจึงให้ทวินามแต่ละตัวเท่ากับศูนย์ แล้วคำนวณหาค่าของ x เพื่อหารากของสมการกำลังสอง

[แก้]ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์

แผนภาพที่พิสูจน์ว่า
(a+b) ² = a²+2ab+b²

พหุนามกำลังสองบางชนิดสามารถแยกตัวประกอบออกได้เป็นทวินามที่เหมือนกัน พหุนามนั้นเรียกว่า ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์ หรือเพียงแค่ กำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งพหุนามดังกล่าวสามารถแยกได้ดังนี้

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b) (a + b) = (a + b) ^2\!$

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b) (a - b) = (a - b) ^2\!$

[แก้]ผลบวกและผลต่างกำลังสอง

ดูบทความหลักที่ ผลต่างกำลังสอง

การแยกตัวประกอบทางพีชคณิตอีกอย่างหนึ่งเรียกว่า ผลต่างกำลังสอง มีสูตรดังนี้

$a^2 - b^2 = (a-b) (a+b) \!$

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้งสองพจน์ ไม่ว่าจำนวนเหล่านั้นจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ ถ้าพจน์ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทนด้วยสูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยกตัวประกอบจะต้องมีจำนวนจินตภาพเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งแสดงได้ดังนี้

$a^2 + b^2 = (a+bi) (a-bi) \!$

ตัวอย่างเช่น $4x^2 + 49$ สามารถแยกได้เป็น $(2x + 7i) (2x - 7i)$ เป็นต้น

[แก้]การแยกตัวประกอบพหุนามอื่น ๆ

[แก้]ผลบวกและผลต่างกำลังสาม

สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบของผลบวกและผลต่างกำลังสามเป็นดังนี้ ผลบวกสามารถแยกตัวประกอบเป็น

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\!$

และผลต่างสามารถแยกตัวประกอบเป็น

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\!$

เช่น x³ − 10³ (or x³ − 1000) สามารถแยกตัวประกอบเป็น (x − 10)(x² + 10x + 100)

สัมประสิทธิ์

สัมประสิทธิ์ของพหุนามกำลังสองมักเป็นจำนวนจริง หรือจำนวนเชิงซ้อน แต่ในความเป็นจริงแล้วพหุนามสามารถนิยามบนริงใด ๆ ได้

[แก้]ตัวแปร

พหุนามกำลังสองอาจมีตัวแปรเพียงตัวแปรเดียว หรือหลายตัวแปรก็ได้

[แก้]พหุนามกำลังสองตัวแปรเดียว

พหุนามกำลังสองตัวแปรเดียวใด ๆ สามารถเขียนในรูป

$ax^2 + bx + c\!$

เมื่อ x เป็นตัวแปร และ a, b, c เป็นสัมประสิทธิ์

[แก้]พหุนามกำลังสองสองตัวแปร

พหุนามกำลังสองสองตัวแปรใด ๆ สามารถเขียนได้ในรูป

$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f\!$

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร และ a , b , c , d , e , f เป็นสัมประสิทธิ์ พหุนามกำลังสองสองตัวแปรเป็นรากฐานของการศึกษาภาคตัดกรวย

นิยาม

[แก้]การสร้างจากจำนวนตรรกยะ

จำนวนจริงสามารถสร้างเป็นส่วนสมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะ สำหรับรายละเอียดและการสร้างจำนวนจริงวิธีอื่นๆดูที่ construction of real numbers (การสร้างจำนวนจริง)

[แก้]วิธีสัจพจน์

ให้ R แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด แล้ว

เซต R เป็นฟีลด์ หมายความว่ามีการนิยามการบวกและการคูณ และมีคุณสมบัติตามปกติ
ฟีลด์ R เป็นฟีลด์อันดับ หมายความว่ามีอันดับเชิงเส้น (total order) ≥ ซึ่งสำหรับทุกจำนวนจริง x y และ z:
- ถ้า x ≥ y แล้ว x + z ≥ y + z
- ถ้า x ≥ 0 และ y ≥ 0 แล้ว xy ≥ 0
อันดับนั้นมีความบริบูรณ์เดเดคินท์ (Dedekind-complete) กล่าวคือทุกสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่าง S ของ R ซึ่งมีขอบเขตบน ใน R มี ขอบเขตบนน้อยสุด ใน R

คุณสมบัติสุดท้ายนี้เป็นตัวแบ่งแยกจำนวนจริงออกจากจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองน้อยกว่า 2 มีขอบเขตบน (เช่น 1.5) แต่ไม่มีขอบเขตบนน้อยสุดที่เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะว่ารากที่สองของ 2 ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนจริงนั้นมีคุณสมบัติข้างต้นเป็นเอกลักษณ์ พูดอย่างถูกต้องได้ว่า ถ้ามีฟีลด์อันดับที่มีความบริบูรณ์เดเดคินท์ 2 ฟีลด์ R₁ และ R₂ จะมีสมสัณฐานฟีลด์ที่เป็นเอกลักษณ์จาก R₁ ไปยัง R₂ ทำให้เราสามารถมองว่าทั้งคู่เป็นวัตถุเดียวกัน

[แก้]คุณสมบัติ

[แก้]ความบริบูรณ์

เหตุผลหลักในการแนะนำจำนวนจริงก็เพราะว่าจำนวนจริงมีลิมิต พูดอย่างเป็นหลักการแล้ว จำนวนจริงมีความบริบูรณ์ (โดยนัยของ ปริภูมิอิงระยะทาง หรือ ปริภูมิเอกรูป ซึ่งต่างจากความบริบูรณ์เดเดคินท์เกี่ยวกับอันดับในส่วนที่แล้ว) มีความหมายดังต่อไปนี้

ลำดับ (x_n) ของจำนวนจริงจะเรียกว่า ลำดับโคชี ถ้าสำหรับ ε > 0 ใดๆ มีจำนวนเต็ม N (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง |x_n − x_m| น้อยกว่า ε โดยที่ n และ m มากกว่า N และอาจกล่าวได้ว่าลำดับเป็นลำดับโคชีโคชีถ้าสมาชิก x_n ของมันในที่สุดเข้าใกล้กันเพียงพอ

ลำดับ (x_n) ลู่เข้าสู่ลิมิต x ถ้าสำหรับ ε > 0 ใดๆมีจำนวนเต็ม N (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง |x_n − x| น้อยกว่า ε โดยที่ n มากกว่า N และอาจกล่าวได้ว่าลำดับมีลิมิต x ถ้าสมาชิกของมันในที่สุดเข้าใกล้ x เพียงพอ

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าทุกลำดับลู่เข้าเป็นลำดับโคชี ข้อเท็จจริงที่สำคัญหนึ่งเกี่ยวกับจำนวนจริงคือบทกลับของมันก็เป็นจริงเช่นกัน :

ลำดับโคชีทุกลำดับของจำนวนจริงลู่เข้า

นั่นก็คือ จำนวนจริงนั้นบริบูรณ์

สังเกตว่าจำนวนตรรกยะนั้นไม่บริบูรณ์ เช่น ลำดับ (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) เป็นลำดับโคชีแต่ไม่ลู่เข้าสู่จำนวนตรรกยะจำนวนใดจำนวนหนึ่ง (ในทางกลับกัน ในระบบจำนวนจริง มันลู่เข้าสู่รากที่สองของ 2)

การมีอยู่ของลิมิตของลำดับโคชีทำให้แคลคูลัสใช้การได้ รวมไปถึงการประยุกต์มากมายของมันด้วย การทดสอบเชิงตัวเลขมาตรฐานเพื่อระบุว่าลำดับนั้นมีลิมิตหรือไม่คือการทดสอบว่ามันเป็นลำดับโคชีหรือไม่ ถ้าเราไม่ทราบลิมิตเหล่านั้นล่วงหน้า

ตัวอย่างเช่น อนุกรมพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

$\mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

ลู่เข้าสู่จำนวนจริงจำนวนหนึ่งเพราะว่าสำหรับทุกค่าของ x ผลรวม

$\sum_{n=N}^{M} \frac{x^n}{n!}$

สามารถทำให้มีค่าน้อยลงเพียงพอโดยเลือก N ที่มีค่ามากเพียงพอ นี่พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นลำดับโคชี ดังนั้นเรารู้ว่าลำดับลู่เข้าแม้กระทั่งเราไม่รู้ว่าลิมิตคืออะไร

นิยาม

[แก้]ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน $\mathbb{C}$ ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ $(a,b)$ ทั้งหมดโดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ $+$ (การบวก) และ $\cdot$ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ $(a,b)$ และ $(c,d)$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

$(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) \,$

$(a,b)\cdot(c,d) = (ac-bd, ad+bc) \,$

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

การบวกและการคูณมีสมบัติปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
มีเอกลักษณ์การบวกคือ $(0,0)$
มีเอกลักษณ์การคูณคือ $(1,0)$
อินเวอร์สการบวกของ $z=(a,b)$ (เขียนแทนด้วย $-z$ ) คือ (-a,-b)
ถ้าหาก $z = (a,b) \neq (0,0)$ อินเวอร์สการคูณของ $z$ (เขียนแทนด้วย $z^{-1}$ ) คือ $\left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right)$

[แก้]จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

$c(a,b) = (ca,cb) = (a,b)c \,$ เมื่อ $c$ เป็นจำนวนจริงและ $(a,b)$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ $(1,0)$ และ $(0,1)$ กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

$(a,b) = a(1,0) + b(0,1) \,$

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ $(a,0) = a(1,0)$ ว่าเป็นจำนวนจริง $a$ (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ $i$ แทน $(0,1)$ จำนวนเชิงซ้อน $(a,b)$ จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า $a+bi$ ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า $i^2 = (-1,0) = -1$ นั่นคือ $i$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2 + 1 = 0$ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม $x^2 +1$ อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม $\mathbb{R}[x]$ กับไอดีล $(x^2+1)$ เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

$\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2+1)$

[แก้]สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง

[แก้]ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ถ้า $z = a+bi \,$ เราเรียก $a$ ว่า ส่วนจริง ของ $z$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\Re(z)$ และเราเรียก $b$ ว่า ส่วนจินตภาพ ของ $z$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\Im(z)$ เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)

[แก้]สังยุคเชิงซ้อน

ถ้า $z=a+bi\,$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ $z$ คือ $a-bi\,$ เราเขียนแทนสังยุคของ $z$ ด้วย $\bar{z}$ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้

$\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
$\overline{z_{1}z_{2}}=\bar{z}_{1}\bar{z}_{2}$
$z + \bar{z} = 2\Re(z)$
$z - \bar{z} = 2\Im(z)$

เมื่อ $z$ , $z_1$ , $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

[แก้]ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi \,$ เขียนแทนด้วย $|z|$ คือจำนวนจริงบวก $\sqrt{a^2 + b^2}$ เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) บนระนาบคาร์ทีเชียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้

$\left|z\right\vert=\left|\bar z\right\vert$
$\left|z\right\vert^2=z \bar{z}$
$\left|z_1z_2\right\vert=\left|z_1\right\vert\left|z_2\right\vert$
$\left|z_1+z_2\right\vert\le\;\left|z_1\right\vert+\left|z_2\right\vert$ (อสมการสามเหลี่ยม)
$\left|z_1-z_2\right\vert\ge\;\big|\left|z_1\right\vert-\left|z_2\right\vert\big|$
$\left|z\right\vert=0$ ก็ต่อเมื่อ $z=0\,$

เมื่อ $z$ , $z_1$ , และ $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง $a$ ด้วยจำนวนเชิงซ้อน $(a,0)$ ทำให้เราได้ว่าถ้า $z \neq 0$

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$

[แก้]ระนาบเชิงซ้อน

เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน $z = a+bi \,$ คือ $(a,b)$ ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ $(r,\varphi) \,$ เมื่อ $r = |z|$ และ $\varphi \,$ เป็นมุมที่เวกเตอร์ $(a,b)$ ทำกับแกน $x$ ในหน่วยเรเดียน เราเรียก $\varphi \,$ ว่า อาร์กิวเมนต์ของ $z$ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\arg(z)$ สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ $2\pi$ จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้

$z = a+bi = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = re^{i\varphi}\,$

และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า

$r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = r_1r_2e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} = r_1r_2(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2))$

และ

$\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2}(\cos (\varphi_1-\varphi_2) + i\sin(\varphi_1-\varphi_2))$

เมื่อ $r_2 \neq 0$ ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ

การคูณด้วย $i = e^{i\pi/2}$ จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ $i^2 = -1$ ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ $(0,1)$ ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1,0)"

[แก้]สมบัติต่างๆ

[แก้]การเรียงลำดับ

$\mathbb{C}$ ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

[แก้]ปริภูมิเวกเตอร์

อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น $\mathbb{C}$ เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน $\mathbb{R}$ เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน $\mathbb{R}$ ( $\mathbb{R}$ -linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป

$f(z) = az + b\bar{z}$

เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน $f_1(z) = a(z)$ เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน $f_2(z) = b\bar{z}$ นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า $f_1$ เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน $\mathbb{C}$ และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ $f_2$ ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

[แก้]สมบัติเชิงพีชคณิต

$\mathbb{C}$ (หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ $C$ ) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้

มีแคแรกเทอริสติก 0
มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใดๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง
มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)

ด้วยเหตุนี้ $\mathbb{C}$ จึงมีฟีลด์ย่อย แท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ $\mathbb{C}$ บนเชตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง

วันพุธที่ 12 กันยายน พ.ศ. 2555

สมการกำลังสอง

สูตรกำลังสอง

ดิสคริมิแนนต์

การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง

[แก้]พหุนามที่สามารถแยกได้บนจำนวนเต็ม

[แก้]ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์

[แก้]ผลบวกและผลต่างกำลังสอง

[แก้]การแยกตัวประกอบพหุนามอื่น ๆ

[แก้]ผลบวกและผลต่างกำลังสาม

สัมประสิทธิ์

[แก้]ตัวแปร

[แก้]พหุนามกำลังสองตัวแปรเดียว

[แก้]พหุนามกำลังสองสองตัวแปร

นิยาม

[แก้]การสร้างจากจำนวนตรรกยะ

[แก้]วิธีสัจพจน์

[แก้]คุณสมบัติ

[แก้]ความบริบูรณ์

นิยาม

[แก้]ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

[แก้]จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม

[แก้]สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง

[แก้]ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

[แก้]สังยุคเชิงซ้อน

[แก้]ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

[แก้]ระนาบเชิงซ้อน

[แก้]สมบัติต่างๆ

[แก้]การเรียงลำดับ

[แก้]ปริภูมิเวกเตอร์

[แก้]สมบัติเชิงพีชคณิต