tag:blogger.com,1999:blog-33916974606946320892024-02-08T06:12:33.483-08:00ทฤษฏีทางคณิตศาสตร์Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/17862926728458968369noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-3391697460694632089.post-26068419018242522532012-09-12T23:11:00.004-07:002012-09-19T23:44:51.006-07:00สมการกำลังสอง<br />
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ในทางคณิตศาสตร์ <b style="background-image: none; text-decoration: none;">สมการกำลังสอง</b> (สมการควอดราติก) คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="ax^2 + bx + c = 0 \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/7/7/4/77450de23205083e400bb0ebac78d68f.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เมื่อ <i>a</i> ≠ 0 (ถ้า <i>a</i> = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง <i style="background-image: none; text-decoration: none;">a</i>, <i style="background-image: none; text-decoration: none;">b</i> อาจเรียกว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของ <i style="background-image: none; text-decoration: none;">x</i><sup style="background-image: none; line-height: 1em; text-decoration: none;">2</sup>, <i style="background-image: none; text-decoration: none;">x</i> ตามลำดับ ส่วน <i style="background-image: none; text-decoration: none;">c</i> คือสัมประสิทธิ์คงตัว บางครั้งเรียกว่าพจน์อิสระหรือพจน์คงตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งพาราโบลา</div>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
</div>
<h2 style="background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-size: 19px; font-weight: normal; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="mw-headline" id=".E0.B8.AA.E0.B8.B9.E0.B8.95.E0.B8.A3.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.AA.E0.B8.AD.E0.B8.87">สูตรกำลังสอง</span></h2>
<div>
<span class="mw-headline"></span><br />
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<span class="mw-headline">สมการกำลังสองใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีรากของสมการ 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร</span></div>
<span class="mw-headline">
</span>
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><span class="mw-headline"><img alt="x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/3/c/a/3ca857f705daba6b9e6e6d3ccad7990f.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></span></dd></dl>
</dd></dl>
<span class="mw-headline">
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่</div>
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="x_+ = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}; \quad x_- = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/4/5/2/452779f6b9afc762aa894b8dd263c0ad.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd></dl>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
</div>
<h2 style="background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-size: 19px; font-weight: normal; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="mw-headline" id=".E0.B8.94.E0.B8.B4.E0.B8.AA.E0.B8.84.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.A1.E0.B8.B4.E0.B9.81.E0.B8.99.E0.B8.99.E0.B8.95.E0.B9.8C">ดิสคริมิแนนต์</span></h2>
<div>
<span class="mw-headline"></span><br />
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<span class="mw-headline">จากสูตรด้านบน นิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง</span></div>
<span class="mw-headline">
</span>
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><span class="mw-headline"><img alt="\Delta" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/6/5/9/659d23f0ed16cdb87b1d41c7b58b52f4.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></span></dd></dl>
</dd></dl>
<span class="mw-headline">
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
จะเรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของสมการกำลังสอง</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ดิสคริมิแนนต์เป็นตัวบ่งบอกว่าสมการกำลังสองจะมีคำตอบของสมการเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้</div>
<ul style="list-style: square url(data:image/png; margin: 0.3em 0px 0px 2.5em; padding: 0px; text-indent: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;">ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่แตกต่างกัน และเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ สำหรับกรณีที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และดิสคริมิแนนต์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นรากของสมการจะเป็นจำนวนตรรกยะ ส่วนในกรณีอื่นจะเป็นจำนวนอตรรกยะ</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่เท่ากัน (หรือมีเพียงค่าเดียว) และเป็นจำนวนจริง รากของสมการนี้จะมีค่าเท่ากับ
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="x = -\frac{b}{2a} \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/a/2/4/a24d435364c73d4bb131cc850880fdd5.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนที่ต่างกัน ซึ่งเป็นสังยุคของกันและกัน นั่นคือ
<dl style="background-image: none; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-decoration: none;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="x " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</li>
</ul>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เมื่อ <i>i</i> คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย <i>i</i><sup style="line-height: 1em;">2</sup> = −1</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
</div>
<h2 style="background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-size: 19px; font-weight: normal; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="mw-headline" id=".E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B9.81.E0.B8.A2.E0.B8.81.E0.B8.95.E0.B8.B1.E0.B8.A7.E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B8.B0.E0.B8.81.E0.B8.AD.E0.B8.9A">การแยกตัวประกอบ</span></h2>
<div>
<span class="mw-headline"></span><br />
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<span class="mw-headline">พจน์ <img alt="x - r \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/a/5/2/a525a82d962ce67d2966de119eca4cd9.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> จะเรียกว่าเป็นตัวประกอบของพหุนาม <img alt="ax^2 + bx + c \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/0/3/7/037372f4dd459346fff36d61cfbe4603.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ก็ต่อเมื่อ <i>r</i> เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง <img alt="ax^2 + bx + c = 0 \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/7/7/4/77450de23205083e400bb0ebac78d68f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /></span></div>
<span class="mw-headline">
</span>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<span class="mw-headline">ซึ่งจากสูตรกำลังสอง สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามได้เป็น</span></div>
<span class="mw-headline">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="ax^2 + bx + c = a \left( x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/8/f/9/8f9c77a12d5925fd34644a86bfc0ebbd.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd></dl>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ในกรณีพิเศษ เมื่อรากของสมการกำลังสองมีเพียงค่าเดียว (คือคำตอบทั้งสองเท่ากัน) พหุนามกำลังสองจะสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น</div>
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="ax^2+bx+c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/2/8/4/284453e069391608154c7c80a2b823f5.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd></dl>
</span></div>
</span></div>
<br />
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br />
<h2 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-family: sans-serif; font-size: 19px; font-weight: normal; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="mw-headline" id=".E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B9.81.E0.B8.A2.E0.B8.81.E0.B8.95.E0.B8.B1.E0.B8.A7.E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B8.B0.E0.B8.81.E0.B8.AD.E0.B8.9A.E0.B8.9E.E0.B8.AB.E0.B8.B8.E0.B8.99.E0.B8.B2.E0.B8.A1.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.AA.E0.B8.AD.E0.B8.87">การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง</span></h2>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="พหุนามกำลังสอง">พหุนามกำลังสอง</a>ใดๆ บน<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="จำนวนเชิงซ้อน">จำนวนเชิงซ้อน</a> (คือพหุนามที่อยู่ในรูป <img alt="ax^2+bx+c" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/5/b/7/5b7bc9adb96a6ee1dc17b024f1ddab74.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เมื่อ <img alt="a,b,c \in \mathbb{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/d/4/4/d44baa91df3a3a9d46fe9e053ce25011.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" />) สามารถแยกตัวประกอบให้เป็น<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%88%E0%B8%99%E0%B9%8C" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="นิพจน์">นิพจน์</a>ที่อยู่ในรูป <img alt="a (x - \alpha) (x - \beta) \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/a/2/5/a25b5500c3ea0330814560e25ebe5291.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เมื่อ <img alt="\alpha" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/b/c/c/bccfc7022dfb945174d9bcebad2297bb.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> และ <img alt="\beta" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/0/7/1/071997f13634882f823041b057f90923.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> คือ<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ราก (คณิตศาสตร์) (หน้านี้ไม่มี)">ราก</a>ของพหุนาม ซึ่งคำนวณได้จาก<a class="mw-redirect" href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="สูตรกำลังสอง">สูตรกำลังสอง</a>ดังนี้</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="ax^2 + bx + c = a (x - \alpha) (x - \beta) = a\left (x - \left (\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \right) \left (x - \left (\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \right) " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/3/6/0/360baf3c957bc6dda94b4a3dce20f2b7.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd></dl>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A&action=edit&section=2" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: พหุนามที่สามารถแยกได้บนจำนวนเต็ม">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.9E.E0.B8.AB.E0.B8.B8.E0.B8.99.E0.B8.B2.E0.B8.A1.E0.B8.97.E0.B8.B5.E0.B9.88.E0.B8.AA.E0.B8.B2.E0.B8.A1.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.96.E0.B9.81.E0.B8.A2.E0.B8.81.E0.B9.84.E0.B8.94.E0.B9.89.E0.B8.9A.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B9.87.E0.B8.A1">พหุนามที่สามารถแยกได้บนจำนวนเต็ม</span></h3>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
บางครั้งพหุนามกำลังสองสามารถแยกออกได้เป็นทวินาม (binomial) สองตัวด้วยสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเต็ม โดยไม่จำเป็นต้องใช้สูตรกำลังสองในการคำนวณ ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการหารากของ<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="สมการกำลังสอง">สมการกำลังสอง</a>โดยที่พหุนาม</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="ax^2+bx+c\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/0/3/7/037372f4dd459346fff36d61cfbe4603.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
สามารถแยกได้เป็น</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt=" (mx+p) (nx+q) \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/2/3/c/23c17d4d1a858cdb076c29cc8bce6cf9.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เมื่อ</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="mn = a\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/9/e/1/9e163ed2399c37df59f738342d3db70d.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="pq = c\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/1/f/8/1f8c04a8922c576a6bb899aec96f5136.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="pn + mq = b\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/f/0/0/f006e48be6f28b8e6a69b02db8e72017.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
จากนั้นจึงให้ทวินามแต่ละตัวเท่ากับศูนย์ แล้วคำนวณหาค่าของ <i>x</i> เพื่อหารากของสมการกำลังสอง</div>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A&action=edit&section=3" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B9.84.E0.B8.95.E0.B8.A3.E0.B8.99.E0.B8.B2.E0.B8.A1.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.AA.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.AA.E0.B8.A1.E0.B8.9A.E0.B8.B9.E0.B8.A3.E0.B8.93.E0.B9.8C">ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์</span></h3>
<div class="thumb tright" style="background-color: white; clear: right; float: right; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin: 0.5em 0px 1.3em 1.4em; text-indent: 0px; width: auto;">
<div class="thumbinner" style="background-color: #f9f9f9; border: 1px solid rgb(136, 136, 136); font-size: 12px; min-width: 100px; overflow: hidden; padding: 3px !important; text-align: center; width: 152px;">
<a class="image" href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:A_plus_b_au_carre.svg" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;"><img alt="" class="thumbimage" height="167" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/A_plus_b_au_carre.svg/150px-A_plus_b_au_carre.svg.png" style="border: 1px solid rgb(136, 136, 136); vertical-align: middle;" width="150" /></a><br />
<div class="thumbcaption" style="border: none; font-size: 11px; line-height: 1.4em; padding: 3px !important; text-align: left;">
<div class="magnify" style="background-image: none !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border: none !important; float: right;">
<a class="internal" href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:A_plus_b_au_carre.svg" style="background-image: none !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border: none !important; color: #0b0080; display: block; text-decoration: none;" title="ขยาย"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/static-1.20wmf9/skins/common/images/magnify-clip.png" style="background-image: none !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; border: none !important; display: block; vertical-align: middle;" width="15" /></a></div>
แผนภาพที่พิสูจน์ว่า<br />
(a+b) ² = a²+2ab+b²</div>
</div>
</div>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
พหุนามกำลังสองบางชนิดสามารถแยกตัวประกอบออกได้เป็นทวินามที่เหมือนกัน พหุนามนั้นเรียกว่า <i>ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์</i> หรือเพียงแค่ <i>กำลังสองสมบูรณ์</i> ซึ่งพหุนามดังกล่าวสามารถแยกได้ดังนี้</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="a^2 + 2ab + b^2 = (a + b) (a + b) = (a + b) ^2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/9/3/b/93bb7cce493a8c8ea4e5413c07d3d825.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="a^2 - 2ab + b^2 = (a - b) (a - b) = (a - b) ^2\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/8/f/5/8f50f591d8beffc30abbaa9094e6ba5d.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd></dl>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A&action=edit&section=4" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: ผลบวกและผลต่างกำลังสอง">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.9C.E0.B8.A5.E0.B8.9A.E0.B8.A7.E0.B8.81.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.9C.E0.B8.A5.E0.B8.95.E0.B9.88.E0.B8.B2.E0.B8.87.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.AA.E0.B8.AD.E0.B8.87">ผลบวกและผลต่างกำลังสอง</span></h3>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><div class="detail">
<i>ดูบทความหลักที่ <a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ผลต่างกำลังสอง (หน้านี้ไม่มี)">ผลต่างกำลังสอง</a></i></div>
</dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
การแยกตัวประกอบทางพีชคณิตอีกอย่างหนึ่งเรียกว่า <i>ผลต่างกำลังสอง</i> มี<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%95%E0%B8%A3" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="สูตร">สูตร</a>ดังนี้</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="a^2 - b^2 = (a-b) (a+b) \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/9/2/4/924b53a47a12aadf1acb862f98f72bd6.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้งสองพจน์ ไม่ว่าจำนวนเหล่านั้นจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ ถ้าพจน์ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทนด้วยสูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยกตัวประกอบจะต้องมี<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="จำนวนจินตภาพ">จำนวนจินตภาพ</a>เข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งแสดงได้ดังนี้</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;">
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="a^2 + b^2 = (a+bi) (a-bi) \!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/6/1/b/61bcb15f53003b8e3174502391b891db.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
</dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ตัวอย่างเช่น <img alt="4x^2 + 49" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/0/5/7/057ded5ee56084b03203c68ecb7026a0.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> สามารถแยกได้เป็น <img alt=" (2x + 7i) (2x - 7i) " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/6/e/7/6e755634fb511928fd4fd243d7d26020.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เป็นต้น</div>
<h2 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-family: sans-serif; font-size: 19px; font-weight: normal; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A&action=edit&section=5" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: การแยกตัวประกอบพหุนามอื่น ๆ">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B9.81.E0.B8.A2.E0.B8.81.E0.B8.95.E0.B8.B1.E0.B8.A7.E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B8.B0.E0.B8.81.E0.B8.AD.E0.B8.9A.E0.B8.9E.E0.B8.AB.E0.B8.B8.E0.B8.99.E0.B8.B2.E0.B8.A1.E0.B8.AD.E0.B8.B7.E0.B9.88.E0.B8.99_.E0.B9.86">การแยกตัวประกอบพหุนามอื่น ๆ</span></h2>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A&action=edit&section=6" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: ผลบวกและผลต่างกำลังสาม">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.9C.E0.B8.A5.E0.B8.9A.E0.B8.A7.E0.B8.81.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.9C.E0.B8.A5.E0.B8.95.E0.B9.88.E0.B8.B2.E0.B8.87.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.AA.E0.B8.B2.E0.B8.A1">ผลบวกและผลต่างกำลังสาม</span></h3>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบของผลบวกและผลต่างกำลังสามเป็นดังนี้ ผลบวกสามารถแยกตัวประกอบเป็น</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt=" a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/e/1/4/e14c85b9e44e3be806e9ad76a2effd20.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
และผลต่างสามารถแยกตัวประกอบเป็น</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt=" a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/5/4/0/5406e195c05aaf40687cc2fb3ccd5799.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เช่น <i>x</i><sup style="line-height: 1em;">3</sup> − 10<sup style="line-height: 1em;">3</sup> (or <i>x</i><sup style="line-height: 1em;">3</sup> − 1000) สามารถแยกตัวประกอบเป็น (<i>x</i> − 10)(<i>x</i><sup style="line-height: 1em;">2</sup> + 10<i>x</i> + 100)<br />
<br />
<h2 style="background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-size: 19px; font-weight: normal; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="mw-headline" id=".E0.B8.AA.E0.B8.B1.E0.B8.A1.E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B8.B0.E0.B8.AA.E0.B8.B4.E0.B8.97.E0.B8.98.E0.B8.B4.E0.B9.8C">สัมประสิทธิ์</span></h2>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B9%8C" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="สัมประสิทธิ์">สัมประสิทธิ์</a>ของพหุนามกำลังสองมักเป็น<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="จำนวนจริง">จำนวนจริง</a> หรือ<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="จำนวนเชิงซ้อน">จำนวนเชิงซ้อน</a> แต่ในความเป็นจริงแล้วพหุนามสามารถนิยามบน<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="ริง (คณิตศาสตร์)">ริง</a>ใด ๆ ได้</div>
<h2 style="background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-size: 19px; font-weight: normal; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&section=2" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: ตัวแปร">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.95.E0.B8.B1.E0.B8.A7.E0.B9.81.E0.B8.9B.E0.B8.A3">ตัวแปร</span></h2>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
พหุนามกำลังสองอาจมีตัวแปรเพียงตัวแปรเดียว หรือหลายตัวแปรก็ได้</div>
<h3 style="background-image: none; border-bottom-style: none; font-size: 17px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&section=3" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: พหุนามกำลังสองตัวแปรเดียว">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.9E.E0.B8.AB.E0.B8.B8.E0.B8.99.E0.B8.B2.E0.B8.A1.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.AA.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.95.E0.B8.B1.E0.B8.A7.E0.B9.81.E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B9.80.E0.B8.94.E0.B8.B5.E0.B8.A2.E0.B8.A7">พหุนามกำลังสองตัวแปรเดียว</span></h3>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
พหุนามกำลังสองตัวแปรเดียวใด ๆ สามารถเขียนในรูป</div>
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="ax^2 + bx + c\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/0/3/7/037372f4dd459346fff36d61cfbe4603.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เมื่อ <i>x</i> เป็นตัวแปร และ <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> เป็น<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%98%E0%B8%B4%E0%B9%8C" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="สัมประสิทธิ์">สัมประสิทธิ์</a></div>
<h3 style="background-image: none; border-bottom-style: none; font-size: 17px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87&action=edit&section=4" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: พหุนามกำลังสองสองตัวแปร">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.9E.E0.B8.AB.E0.B8.B8.E0.B8.99.E0.B8.B2.E0.B8.A1.E0.B8.81.E0.B8.B3.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.AA.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.AA.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.95.E0.B8.B1.E0.B8.A7.E0.B9.81.E0.B8.9B.E0.B8.A3">พหุนามกำลังสองสองตัวแปร</span></h3>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
พหุนามกำลังสองสองตัวแปรใด ๆ สามารถเขียนได้ในรูป</div>
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/th/math/e/b/4/eb4a7712a094f81d3d3eb6a9ec2df60c.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
โดยที่ <i>x</i> และ <i>y</i> เป็นตัวแปร และ <i>a</i> , <i>b</i> , <i>c</i> , <i>d</i> , <i>e</i> , <i>f</i> เป็นสัมประสิทธิ์ พหุนามกำลังสองสองตัวแปรเป็นรากฐานของการศึกษา<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%A2" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="ภาคตัดกรวย">ภาคตัดกรวย</a></div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
</div>
<h2 style="background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-size: 19px; font-weight: normal; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="mw-headline" id=".E0.B8.99.E0.B8.B4.E0.B8.A2.E0.B8.B2.E0.B8.A1">นิยาม</span></h2>
<h3 style="background-image: none; border-bottom-style: none; font-size: 17px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87&action=edit&section=3" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: การสร้างจากจำนวนตรรกยะ">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B8.AA.E0.B8.A3.E0.B9.89.E0.B8.B2.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B2.E0.B8.81.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B8.95.E0.B8.A3.E0.B8.A3.E0.B8.81.E0.B8.A2.E0.B8.B0">การสร้างจากจำนวนตรรกยะ</span></h3>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
จำนวนจริงสามารถสร้างเป็นส่วนสมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะ สำหรับรายละเอียดและการสร้างจำนวนจริงวิธีอื่นๆดูที่ <a class="extiw" href="http://en.wikipedia.org/wiki/construction_of_real_numbers" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #663366; text-decoration: none;" title="en:construction of real numbers">construction of real numbers</a> (<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AA%E0%B8%A3%E0%B9%89%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="การสร้างจำนวนจริง (หน้านี้ไม่มี)">การสร้างจำนวนจริง</a>)</div>
<h3 style="background-image: none; border-bottom-style: none; font-size: 17px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87&action=edit&section=4" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: วิธีสัจพจน์">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.A7.E0.B8.B4.E0.B8.98.E0.B8.B5.E0.B8.AA.E0.B8.B1.E0.B8.88.E0.B8.9E.E0.B8.88.E0.B8.99.E0.B9.8C">วิธีสัจพจน์</span></h3>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ให้ <b>R</b> แทน<a class="mw-redirect" href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="เซต">เซต</a>ของจำนวนจริงทั้งหมด แล้ว</div>
<ul style="list-style: square url(data:image/png; margin: 0.3em 0px 0px 2.5em; padding: 0px; text-indent: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;">เซต <b>R</b> เป็น<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ฟีลด์ (หน้านี้ไม่มี)">ฟีลด์</a> หมายความว่ามีการนิยาม<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9A%E0%B8%A7%E0%B8%81" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="การบวก">การบวก</a>และ<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="การคูณ">การคูณ</a> และมีคุณสมบัติตามปกติ</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">ฟีลด์ <b>R</b> เป็น<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ฟีลด์อันดับ (หน้านี้ไม่มี)">ฟีลด์อันดับ</a> หมายความว่ามี<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="อันดับเชิงเส้น (หน้านี้ไม่มี)">อันดับเชิงเส้น</a> (<a class="extiw" href="http://en.wikipedia.org/wiki/total_order" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #663366; text-decoration: none;" title="en:total order">total order</a>) ≥ ซึ่งสำหรับทุกจำนวนจริง <i>x</i> <i>y</i> และ <i>z</i>:<ul style="line-height: 1.5em; list-style: square url(data:image/png; margin: 0.3em 0px 0px 2.5em; padding: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;">ถ้า <i>x</i> ≥ <i>y</i> แล้ว <i>x</i> + <i>z</i> ≥ <i>y</i> + <i>z</i></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">ถ้า <i>x</i> ≥ 0 และ <i>y</i> ≥ 0 แล้ว <i>xy</i> ≥ 0</li>
</ul>
</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">อันดับนั้นมี<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9A%E0%B8%B9%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%84%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ความบริบูรณ์เดเดคินท์ (หน้านี้ไม่มี)">ความบริบูรณ์เดเดคินท์</a> (<a class="extiw" href="http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_completion" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #663366; text-decoration: none;" title="en:Dedekind completion">Dedekind-complete</a>) กล่าวคือทุกสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่าง <i>S</i> ของ <b>R</b> ซึ่งมี<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%82%E0%B8%95%E0%B8%9A%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ขอบเขตบน (หน้านี้ไม่มี)">ขอบเขตบน</a> ใน <b>R</b> มี <a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%82%E0%B8%95%E0%B8%9A%E0%B8%99%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B8%94&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ขอบเขตบนน้อยสุด (หน้านี้ไม่มี)">ขอบเขตบนน้อยสุด</a> ใน <b>R</b></li>
</ul>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
คุณสมบัติสุดท้ายนี้เป็นตัวแบ่งแยกจำนวนจริงออกจาก<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="จำนวนตรรกยะ">จำนวนตรรกยะ</a> ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองน้อยกว่า 2 มีขอบเขตบน (เช่น 1.5) แต่ไม่มีขอบเขตบนน้อยสุดที่เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะว่ารากที่สองของ 2 ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
จำนวนจริงนั้นมีคุณสมบัติข้างต้นเป็นเอกลักษณ์ พูดอย่างถูกต้องได้ว่า ถ้ามีฟีลด์อันดับที่มีความบริบูรณ์เดเดคินท์ 2 ฟีลด์ <b>R</b><sub style="line-height: 1em;">1</sub> และ <b>R</b><sub style="line-height: 1em;">2</sub> จะมีสมสัณฐานฟีลด์ที่เป็นเอกลักษณ์จาก <b>R</b><sub style="line-height: 1em;">1</sub> ไปยัง <b>R</b><sub style="line-height: 1em;">2</sub> ทำให้เราสามารถมองว่าทั้งคู่เป็นวัตถุเดียวกัน</div>
<h2 style="background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-size: 19px; font-weight: normal; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87&action=edit&section=5" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: คุณสมบัติ">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.84.E0.B8.B8.E0.B8.93.E0.B8.AA.E0.B8.A1.E0.B8.9A.E0.B8.B1.E0.B8.95.E0.B8.B4">คุณสมบัติ</span></h2>
<h3 style="background-image: none; border-bottom-style: none; font-size: 17px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87&action=edit&section=6" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: ความบริบูรณ์">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.84.E0.B8.A7.E0.B8.B2.E0.B8.A1.E0.B8.9A.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.9A.E0.B8.B9.E0.B8.A3.E0.B8.93.E0.B9.8C">ความบริบูรณ์</span></h3>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เหตุผลหลักในการแนะนำจำนวนจริงก็เพราะว่าจำนวนจริงมี<a class="mw-redirect" href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%95" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="ลิมิต">ลิมิต</a> พูดอย่างเป็นหลักการแล้ว จำนวนจริงมี<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9A%E0%B8%B9%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ความบริบูรณ์ (หน้านี้ไม่มี)">ความบริบูรณ์</a> (โดยนัยของ <a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B9%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%A2%E0%B8%B0%E0%B8%97%E0%B8%B2%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ปริภูมิอิงระยะทาง (หน้านี้ไม่มี)">ปริภูมิอิงระยะทาง</a> หรือ <a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B9%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9B&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ปริภูมิเอกรูป (หน้านี้ไม่มี)">ปริภูมิเอกรูป</a> ซึ่งต่างจากความบริบูรณ์เดเดคินท์เกี่ยวกับอันดับในส่วนที่แล้ว) มีความหมายดังต่อไปนี้</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%B3%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="ลำดับ">ลำดับ</a> (<i>x</i><sub style="line-height: 1em;"><i>n</i></sub>) ของจำนวนจริงจะเรียกว่า <i><a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%A5%E0%B8%B3%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B8%8A%E0%B8%B5&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ลำดับโคชี (หน้านี้ไม่มี)">ลำดับโคชี</a></i> ถ้าสำหรับ ε > 0 ใดๆ มีจำนวนเต็ม <i>N</i> (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่ง<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%A2%E0%B8%B0%E0%B8%97%E0%B8%B2%E0%B8%87" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="ระยะทาง">ระยะทาง</a> |<i>x</i><sub style="line-height: 1em;"><i>n</i></sub> − <i>x</i><sub style="line-height: 1em;"><i>m</i></sub>| น้อยกว่า ε โดยที่ <i>n</i> และ <i>m</i> มากกว่า <i>N</i> และอาจกล่าวได้ว่าลำดับเป็นลำดับโคชีโคชีถ้าสมาชิก <i>x</i><sub style="line-height: 1em;"><i>n</i></sub> ของมันในที่สุดเข้าใกล้กันเพียงพอ</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ลำดับ (<i>x</i><sub style="line-height: 1em;"><i>n</i></sub>) <i>ลู่เข้าสู่ลิมิต</i> <i>x</i> ถ้าสำหรับ ε > 0 ใดๆมีจำนวนเต็ม <i>N</i> (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง |<i>x</i><sub style="line-height: 1em;"><i>n</i></sub> − <i>x</i>| น้อยกว่า ε โดยที่ <i>n</i> มากกว่า <i>N</i> และอาจกล่าวได้ว่าลำดับมีลิมิต <i>x</i> ถ้าสมาชิกของมันในที่สุดเข้าใกล้ <i>x</i> เพียงพอ</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าทุกลำดับลู่เข้าเป็นลำดับโคชี ข้อเท็จจริงที่สำคัญหนึ่งเกี่ยวกับจำนวนจริงคือบทกลับของมันก็เป็นจริงเช่นกัน :</div>
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><b>ลำดับโคชีทุกลำดับของจำนวนจริงลู่เข้า</b></dd></dl>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
นั่นก็คือ จำนวนจริงนั้นบริบูรณ์</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
สังเกตว่าจำนวนตรรกยะนั้นไม่บริบูรณ์ เช่น ลำดับ (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) เป็นลำดับโคชีแต่ไม่ลู่เข้าสู่จำนวนตรรกยะจำนวนใดจำนวนหนึ่ง (ในทางกลับกัน ในระบบจำนวนจริง มันลู่เข้าสู่รากที่สองของ 2)</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
การมีอยู่ของลิมิตของลำดับโคชีทำให้<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แคลคูลัส">แคลคูลัส</a>ใช้การได้ รวมไปถึงการประยุกต์มากมายของมันด้วย การทดสอบเชิงตัวเลขมาตรฐานเพื่อระบุว่าลำดับนั้นมีลิมิตหรือไม่คือการทดสอบว่ามันเป็นลำดับโคชีหรือไม่ ถ้าเราไม่ทราบลิมิตเหล่านั้นล่วงหน้า</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ตัวอย่างเช่น อนุกรมพื้นฐานของ<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง">ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง</a></div>
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="\mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/4/f/74fefb1e2fc4c152e1157cb7780bab79.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ลู่เข้าสู่จำนวนจริงจำนวนหนึ่งเพราะว่าสำหรับทุกค่าของ <i>x</i> ผลรวม</div>
<dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="\sum_{n=N}^{M} \frac{x^n}{n!}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/3/3/b33758377a345927bd1dde05dcf6c63a.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
สามารถทำให้มีค่าน้อยลงเพียงพอโดยเลือก <i>N</i> ที่มีค่ามากเพียงพอ นี่พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นลำดับโคชี ดังนั้นเรารู้ว่าลำดับลู่เข้าแม้กระทั่งเราไม่รู้ว่าลิมิตคืออะไร</div>
<br />
</div>
</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br />
<h2 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-family: sans-serif; font-size: 19px; font-weight: normal; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="mw-headline" id=".E0.B8.99.E0.B8.B4.E0.B8.A2.E0.B8.B2.E0.B8.A1">นิยาม</span></h2>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=2" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.9F.E0.B8.B5.E0.B8.A5.E0.B8.94.E0.B9.8C.E0.B8.82.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99">ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน</span></h3>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน <img alt="\mathbb{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/4/f/84feda6433ec704f8ff2098173f9413f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ <img alt="(a,b)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/0/2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ทั้งหมดโดยที่ <img alt="a" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> และ <img alt="b" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/2/e/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เป็นจำนวนจริง และ<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%8F%E0%B8%B4%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="ปฏิบัติการ">ปฏิบัติการ</a>สองตัวคือ <img alt="+" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/6/b/26b17225b626fb9238849fd60eabdf60.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> (การบวก) และ <img alt="\cdot" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/6/f/36f8ae4c86b69d52d037a6802d91cc4a.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้</div>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ให้ <img alt="(a,b)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/0/2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> และ <img alt="(c,d)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/0/8/308904906e48218b196da63abbcf3526.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/3/b/33b8b6fb038db17167e1bcd8dfad4b39.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="(a,b)\cdot(c,d) = (ac-bd, ad+bc) \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/2/1/a218fb6937eaa7e8a59be2372ea75c77.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง</div>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็น<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ฟีลด์ (หน้านี้ไม่มี)">ฟีลด์</a> กล่าวคือ</div>
<ul style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; list-style: square url(data:image/png; margin: 0.3em 0px 0px 2.5em; padding: 0px; text-indent: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;">การบวกและการคูณมีสมบัติปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">มีเอกลักษณ์การบวกคือ <img alt="(0,0)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/c/1/5c16f757233856dcf311176b7410d2d5.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">มีเอกลักษณ์การคูณคือ <img alt="(1,0)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/c/6/ec6014ffc3d92709aa6a4fea11bb3788.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">อินเวอร์สการบวกของ <img alt="z=(a,b)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/3/0/930cf20310dd0781b02aa1be8dff2c3b.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /> (เขียนแทนด้วย <img alt="-z" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/6/6/76684dfb829ee7e63fbcc668b0a7ea87.png" style="border: none; vertical-align: middle;" />) คือ (-a,-b)</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">ถ้าหาก <img alt="z = (a,b) \neq (0,0)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/8/d/08da3cd29e53b4be50331c8cb280fcfc.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /> อินเวอร์สการคูณของ <img alt="z" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/b/a/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /> (เขียนแทนด้วย <img alt="z^{-1}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/1/8/918e4ccac77d46420cac9652680b6b84.png" style="border: none; vertical-align: middle;" />) คือ <img alt="\left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/4/1/f41a4190ac851119826dbda78ed9ba5c.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
</ul>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=3" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99.E0.B9.83.E0.B8.99.E0.B8.90.E0.B8.B2.E0.B8.99.E0.B8.B0.E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.A0.E0.B8.B9.E0.B8.A1.E0.B8.B4.E0.B9.80.E0.B8.A7.E0.B8.81.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B8.AD.E0.B8.A3.E0.B9.8C.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.9F.E0.B8.B5.E0.B8.A5.E0.B8.94.E0.B9.8C.E0.B8.95.E0.B9.88.E0.B8.AD.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B8.B4.E0.B8.A1">จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม</span></h3>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็น<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A0%E0%B8%B9%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ปริภูมิเวกเตอร์ (หน้านี้ไม่มี)">ปริภูมิเวกเตอร์</a>สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วย<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="สเกลาร์">สเกลาร์</a>สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="c(a,b) = (ca,cb) = (a,b)c \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/c/b/7cbecaee6b976a2ffde96a927487addb.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /> เมื่อ <img alt="c" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/a/8/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /> เป็นจำนวนจริงและ <img alt="(a,b)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/0/2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ</dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ด้วยเหตุนี้เราได้ว่า<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ฐานหลัก (หน้านี้ไม่มี)">ฐานหลัก</a>หนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ <img alt="(1,0)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/c/6/ec6014ffc3d92709aa6a4fea11bb3788.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> และ <img alt="(0,1)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/6/d/b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของ<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="ผลรวมเชิงเส้น">ผลรวมเชิงเส้น</a>ของเวกเตอร์ทั้งสอง:</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt=" (a,b) = a(1,0) + b(0,1) \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/d/c/edcddae60b9a1282fa964f218abba7dd.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ <img alt="(a,0) = a(1,0)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/d/b/7db0e92007d3e826afac8590a7305f18.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ว่าเป็นจำนวนจริง <img alt="a" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ <img alt="i" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/6/5/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> แทน <img alt="(0,1)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/6/d/b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" />จำนวนเชิงซ้อน <img alt="(a,b)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/0/2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า <img alt="a+bi" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/d/e/3de90564c61daf602b582735803fed9c.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ</div>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า <img alt="i^2 = (-1,0) = -1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/d/d/cdd41f3488dfd7c321b5162f9c1feb85.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> นั่นคือ <img alt="i" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/6/5/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เป็นคำตอบของสมการ <img alt="x^2 + 1 = 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/5/d/05dda07ab825ea5edda1cc63040cde2f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็น<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ฟีลด์ต่อเติม (หน้านี้ไม่มี)">ฟีลด์ต่อเติม</a> (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่ม<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ราก (หน้านี้ไม่มี)">ราก</a>ของพหุนาม <img alt="x^2 +1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/9/c/19cb4465624f301eeb8f8a6d1d60276b.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือ<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%A3&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ริงผลหาร (หน้านี้ไม่มี)">ริงผลหาร</a> (quotient ring) ของ<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ริงพหุนาม (หน้านี้ไม่มี)">ริงพหุนาม</a> <img alt="\mathbb{R}[x]" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/3/0/d30c4d8a82d45c0e3a53461a45ca72b5.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> กับ<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B9%84%E0%B8%AD%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A5&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ไอดีล (หน้านี้ไม่มี)">ไอดีล</a> <img alt="(x^2+1)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/b/c/bbcf7aef678781f18bdd6e92349cba50.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2+1)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/a/c/5ac3abb6998c787c5115e49600c4e3b8.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<h2 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-family: sans-serif; font-size: 19px; font-weight: normal; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=4" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.AA.E0.B8.B1.E0.B8.8D.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.81.E0.B8.A9.E0.B8.93.E0.B9.8C.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.84.E0.B8.B3.E0.B8.A8.E0.B8.B1.E0.B8.9E.E0.B8.97.E0.B9.8C.E0.B8.97.E0.B8.B5.E0.B9.88.E0.B9.80.E0.B8.81.E0.B8.B5.E0.B9.88.E0.B8.A2.E0.B8.A7.E0.B8.82.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.87">สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง</span></h2>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=5" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.AA.E0.B9.88.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B9.81.E0.B8.A5.E0.B8.B0.E0.B8.AA.E0.B9.88.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B8.88.E0.B8.B4.E0.B8.99.E0.B8.95.E0.B8.A0.E0.B8.B2.E0.B8.9E">ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ</span></h3>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ถ้า <img alt="z = a+bi \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/8/f/c8f108b4a79b84dfe27791394b3088cf.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เราเรียก <img alt="a" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ว่า <i>ส่วนจริง</i> ของ <img alt="z" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/b/a/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ <img alt="\Re(z)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/1/7/7173d638353117f1981cb37ca93ee4b2.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> และเราเรียก <img alt="b" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/2/e/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ว่า <i>ส่วนจินตภาพ</i> ของ <img alt="z" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/b/a/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ <img alt="\Im(z)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/2/9/929a3652f17ec97093a6a5e8679c9f10.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่า<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="จำนวนจินตภาพ">จำนวนจินตภาพ</a> (imaginary number)</div>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=6" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: สังยุคเชิงซ้อน">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.AA.E0.B8.B1.E0.B8.87.E0.B8.A2.E0.B8.B8.E0.B8.84.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99">สังยุคเชิงซ้อน</span></h3>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ถ้า <img alt="z=a+bi\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/8/f/c8f108b4a79b84dfe27791394b3088cf.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ <img alt="z" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/b/a/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> คือ <img alt="a-bi\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/9/2/9929715bfea2f38edefa3161ba3e72a0.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เราเขียนแทนสังยุคของ <img alt="z" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/b/a/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ด้วย <img alt="\bar{z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/0/0/50041ea29dedb15e50625fe5a8955b15.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้</div>
<ol style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; list-style: none; margin: 0.3em 0px 0px 2.5em; padding: 0px; text-indent: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><img alt="\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/7/b/87b68d881cba26a3ce81964f72dd4bd1.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><img alt="\overline{z_{1}z_{2}}=\bar{z}_{1}\bar{z}_{2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/1/4/114240fd01b381dd9e068b275ccb0fb9.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><img alt="z + \bar{z} = 2\Re(z)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/7/5/e7569b32c71567f6f8deac1cd494f5af.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><img alt="z - \bar{z} = 2\Im(z)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/f/a/efa58e02d3eee9be75194469ba846663.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
</ol>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เมื่อ <img alt="z" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/b/a/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" />, <img alt="z_1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/b/1/7b130c2e8f1d1584f9440cbfd6883b1a.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" />, <img alt="z_2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/a/b/4abf9f21cabdc81618be801995926d30.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ</div>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=7" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.82.E0.B8.99.E0.B8.B2.E0.B8.94.E0.B8.82.E0.B8.AD.E0.B8.87.E0.B8.88.E0.B8.B3.E0.B8.99.E0.B8.A7.E0.B8.99.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99">ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน</span></h3>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<i>ขนาด</i>ของจำนวนเชิงซ้อน <img alt="z=a+bi \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/8/f/c8f108b4a79b84dfe27791394b3088cf.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เขียนแทนด้วย <img alt="|z|" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/2/5/425a78d383c3e5e5f9f095de1d5c5115.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> คือจำนวนจริงบวก <img alt="\sqrt{a^2 + b^2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/2/4/024f4462a4e41e4fa529e87b5c71612c.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) บน<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%9A%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ระนาบคาร์ทีเชียน (หน้านี้ไม่มี)">ระนาบคาร์ทีเชียน</a> ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้</div>
<ol style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; list-style: none; margin: 0.3em 0px 0px 2.5em; padding: 0px; text-indent: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><img alt="\left|z\right\vert=\left|\bar z\right\vert" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/7/6/e767e3ba0364db80c8232ef910609f90.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><img alt="\left|z\right\vert^2=z \bar{z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/1/4/5141283461a3123594356ad825737744.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><img alt="\left|z_1z_2\right\vert=\left|z_1\right\vert\left|z_2\right\vert" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/d/e/4deb6bbeb46a4cb4b320d4c2c0537cb3.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><img alt="\left|z_1+z_2\right\vert\le\;\left|z_1\right\vert+\left|z_2\right\vert" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/3/5/f35c62c0ee79a02f6cac247c19ad7a93.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /> (<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A1&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="อสมการสามเหลี่ยม (หน้านี้ไม่มี)">อสมการสามเหลี่ยม</a>)</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><img alt="\left|z_1-z_2\right\vert\ge\;\big|\left|z_1\right\vert-\left|z_2\right\vert\big|" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/7/d/e7d0c6ac1fc2f05f83a3035c85432ea2.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><img alt="\left|z\right\vert=0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/9/d/19d0e8a091a205eb3fafab7a36ed2116.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /> ก็ต่อเมื่อ <img alt="z=0\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/e/2/ce2ccc0e0ac17ccc26345c70c3cbf45f.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></li>
</ol>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เมื่อ <img alt="z" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/b/a/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" />, <img alt="z_1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/b/1/7b130c2e8f1d1584f9440cbfd6883b1a.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" />, และ <img alt="z_2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/a/b/4abf9f21cabdc81618be801995926d30.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง <img alt="a" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ด้วยจำนวนเชิงซ้อน <img alt="(a,0)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/7/f/47f7512ac76513056a203f8620522bad.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ทำให้เราได้ว่าถ้า <img alt="z \neq 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/3/1/d31ead18171e7708fe647bc27bc3ce77.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /></div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/b/7/fb7c3eed708c8df5dc74440ec6a10609.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=8" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: ระนาบเชิงซ้อน">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.A3.E0.B8.B0.E0.B8.99.E0.B8.B2.E0.B8.9A.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.8B.E0.B9.89.E0.B8.AD.E0.B8.99">ระนาบเชิงซ้อน</span></h3>
<div class="floatright" style="background-color: white; border: 0px; clear: right; float: right; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.5em 0.5em; position: relative; text-indent: 0px;">
<a class="image" href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:Complex.png" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;"><img alt="Complex.png" height="300" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Complex.png" style="border: none; vertical-align: middle;" width="200" /></a></div>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บน<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%9A%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ระนาบคาร์ทีเซียน (หน้านี้ไม่มี)">ระนาบคาร์ทีเซียน</a>สองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่า<i>ระนาบเชิงซ้อน</i> (complex plane) หรือ<i>ผังของอาร์กานด์</i> ตามชื่อของ <a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%8A%E0%B8%AD%E0%B8%87-%E0%B9%82%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%95_%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ (หน้านี้ไม่มี)">ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์</a> ผู้ค้นพบ</div>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน <img alt="z = a+bi \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/8/f/c8f108b4a79b84dfe27791394b3088cf.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> คือ <img alt="(a,b)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/0/2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ในขณะที่<a class="mw-redirect" href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%82%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%A7" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="พิกัดเชิงขั้ว">พิกัดเชิงขั้ว</a>คิอ <img alt="(r,\varphi) \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/b/b/dbbdb74c521f1db95648aa60d4b49016.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เมื่อ <img alt="r = |z|" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/3/9/339633f076c9650ba16afb64067cdbe0.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> และ <img alt="\varphi \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/7/c/c7c24a63210a2d7a68ca205e55f47391.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เป็นมุมที่เวกเตอร์ <img alt="(a,b)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/0/2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ทำกับแกน <img alt="x" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ในหน่วย<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="เรเดียน">เรเดียน</a> เราเรียก <img alt="\varphi \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/7/c/c7c24a63210a2d7a68ca205e55f47391.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ว่า <i>อาร์กิวเมนต์</i>ของ <img alt="z" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/b/a/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ <img alt="\arg(z)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/1/d/d1db714a2a8245907f87452a1a42b344.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ <img alt="2\pi" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/6/a/46a6c4d715584adb3e6681ee351d1df6.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> จะมีค่าเท่ากัน</div>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="สูตรของออยเลอร์">สูตรของออยเลอร์</a>ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="z = a+bi = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = re^{i\varphi}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/b/0/6b01dd70175553044d7bc3997f596db1.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = r_1r_2e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} = r_1r_2(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2))" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/6/a/b6a504f22df0b9aaf13419b23dae06f8.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
และ</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2}(\cos (\varphi_1-\varphi_2) + i\sin(\varphi_1-\varphi_2))" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/5/1/c510d85192e65c5d0382fb07b04402ca.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เมื่อ <img alt="r_2 \neq 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/0/b/d0b1fe80d403ff36aa95b5e844d43dc3.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ</div>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
การคูณด้วย <img alt="i = e^{i\pi/2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/b/b/3bba739d54c2a0e698ae4280e0f6891c.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ <img alt="i^2 = -1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/8/5/685245741281622a3f11315dfd81cd98.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ <img alt="(0,1)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/6/d/b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1,0)"</div>
<h2 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-family: sans-serif; font-size: 19px; font-weight: normal; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=9" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: สมบัติต่างๆ">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.AA.E0.B8.A1.E0.B8.9A.E0.B8.B1.E0.B8.95.E0.B8.B4.E0.B8.95.E0.B9.88.E0.B8.B2.E0.B8.87.E0.B9.86">สมบัติต่างๆ</span></h2>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=10" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: การเรียงลำดับ">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.81.E0.B8.B2.E0.B8.A3.E0.B9.80.E0.B8.A3.E0.B8.B5.E0.B8.A2.E0.B8.87.E0.B8.A5.E0.B8.B3.E0.B8.94.E0.B8.B1.E0.B8.9A">การเรียงลำดับ</span></h3>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<img alt="\mathbb{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/4/f/84feda6433ec704f8ff2098173f9413f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ไม่เป็น<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%94%E0%B8%B1%E0%B8%9A&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ฟีลด์อันดับ (หน้านี้ไม่มี)">ฟีลด์อันดับ</a> กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย</div>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=11" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: ปริภูมิเวกเตอร์">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.9B.E0.B8.A3.E0.B8.B4.E0.B8.A0.E0.B8.B9.E0.B8.A1.E0.B8.B4.E0.B9.80.E0.B8.A7.E0.B8.81.E0.B9.80.E0.B8.95.E0.B8.AD.E0.B8.A3.E0.B9.8C">ปริภูมิเวกเตอร์</span></h3>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น <img alt="\mathbb{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/4/f/84feda6433ec704f8ff2098173f9413f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน <img alt="\mathbb{R}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/3/4/134676911181af05d24d406f16edf587.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เราได้ว่า<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="การแปลงเชิงเส้น (หน้านี้ไม่มี)">การแปลงเชิงเส้น</a>บน <img alt="\mathbb{R} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/3/4/134676911181af05d24d406f16edf587.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> (<img alt="\mathbb{R}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/3/4/134676911181af05d24d406f16edf587.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" />-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป</div>
<dl style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em; text-indent: 0px;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2.5em; margin-right: 0px;"><img alt="f(z) = az + b\bar{z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/d/7/1d79cbf5a156a6531341f230b313c622.png" style="border: none; vertical-align: middle;" /></dd></dl>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
เมื่อ <img alt="a" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> และ <img alt="b" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/2/e/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน <img alt="f_1(z) = a(z)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/f/1/8f1734acc0cdf3b92f403cff015c32e5.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน <img alt="f_2(z) = b\bar{z}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/7/1/2715b3b9622f3ae565babd258680bde0.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า <img alt="f_1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/5/1/551fb42bac42e8b0d44c8896b05d6409.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน <img alt="\mathbb{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/4/f/84feda6433ec704f8ff2098173f9413f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> และเป็นฟังก์ชัน<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B9%82%E0%B8%AE%E0%B9%82%E0%B8%A5%E0%B8%A1%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%9F%E0%B8%B4%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="โฮโลมอร์ฟิก (หน้านี้ไม่มี)">โฮโลมอร์ฟิก</a> เราสามารถหาอนุพันธ์ของ <img alt="f_2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/6/6/e66bc679b47d61f3a5f2fbef0f121746.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับ<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B8%8A%E0%B8%B5-%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A1%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%99%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="สมการโคชี-รีมันน์ (หน้านี้ไม่มี)">สมการโคชี-รีมันน์</a></div>
<h3 style="background-color: white; background-image: none; border-bottom-style: none; font-family: sans-serif; font-size: 17px; line-height: 19px; margin: 0px 0px 0.3em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; text-indent: 0px;">
<span class="editsection" style="-webkit-user-select: none; float: right; font-size: 13px; font-weight: normal; margin-left: 5px;">[<a href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%99&action=edit&section=12" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="แก้ไขส่วน: สมบัติเชิงพีชคณิต">แก้</a>]</span><span class="mw-headline" id=".E0.B8.AA.E0.B8.A1.E0.B8.9A.E0.B8.B1.E0.B8.95.E0.B8.B4.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.9E.E0.B8.B5.E0.B8.8A.E0.B8.84.E0.B8.93.E0.B8.B4.E0.B8.95">สมบัติเชิงพีชคณิต</span></h3>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<img alt="\mathbb{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/4/f/84feda6433ec704f8ff2098173f9413f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> (หรือฟีลด์อื่นที่<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%93%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="สมสัณฐาน (หน้านี้ไม่มี)">สมสัณฐาน</a>กับ <img alt="C" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/d/6/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" />) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้</div>
<ul style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; list-style: square url(data:image/png; margin: 0.3em 0px 0px 2.5em; padding: 0px; text-indent: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;">มี<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B9%81%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="แคแรกเทอริสติก (หน้านี้ไม่มี)">แคแรกเทอริสติก</a> 0</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">มี<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%94%E0%B8%B5%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%AD%E0%B8%94%E0%B8%B4%E0%B8%A8%E0%B8%B1%E0%B8%A2&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ดีกรีอดิศัย (หน้านี้ไม่มี)">ดีกรีอดิศัย</a>เมื่อเทียบกับ<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%89%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B8%B0&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ฟีลด์เฉพาะ (หน้านี้ไม่มี)">ฟีลด์เฉพาะ</a>ใดๆ เท่ากับ<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%82%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%94%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ขนาดของเซตจำนวนจริง (หน้านี้ไม่มี)">ขนาดของเซตจำนวนจริง</a></li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">มี<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%9B%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="สมบัติปิดเชิงพีชคณิต (หน้านี้ไม่มี)">สมบัติปิดเชิงพีชคณิต</a> (ดู <a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต">ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต</a>)</li>
</ul>
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
ด้วยเหตุนี้ <img alt="\mathbb{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/4/f/84feda6433ec704f8ff2098173f9413f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> จึงมี<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A2&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="ฟีลด์ย่อย (หน้านี้ไม่มี)">ฟีลด์ย่อย</a><a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B8%A2%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B9%81%E0%B8%97%E0%B9%89&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="เซตย่อยแท้ (หน้านี้ไม่มี)">แท้</a>ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%A2%E0%B8%94%E0%B9%8C%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%9B&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="กาลอยด์กรุป (หน้านี้ไม่มี)">กาลอยด์กรุป</a>ของ <img alt="\mathbb{C}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/4/f/84feda6433ec704f8ff2098173f9413f.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /> บนเชตของ<a href="http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: none;" title="จำนวนตรรกยะ">จำนวนตรรกยะ</a>มีขนาดเท่ากับ<a class="new" href="http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #a55858; text-decoration: none;" title="เซตกำลัง (หน้านี้ไม่มี)">เซตกำลัง</a>ของเซตของจำนวนจริง</div>
</div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-indent: 2.5em;">
<br /></div>
</span></div>
<br />Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/17862926728458968369noreply@blogger.com0